a: ΔADC vuông tại D

=>AD<AC

ΔBEC vuông tại E

=>BE<BC

=>AD+BE<BC+AC

b: CA<CB

=>góc CAB>gócCBA

=>90 độ-góc CAB<90 độ-góc CBA

=>góc HBA<góc HAB

=>HA<HB

a)Nguồn: Lazi.

Tam giác ABC có : góc ABC > góc ACB (gt)

=> AC > AB (đl)

AD _|_ BC (gt) 

D thuộc BC

=> BD < DC

H thuộc AD 

=> HB < HC  

b, AD; BE là đường cao

ADcắt BE tại H 

=> CH là đường cao (đl)

=> CH _|_ AB (đn)

HF _|_ AB (gt)

=> C; H; F thẳng hàng

c.

\(AB>AD;AC>AD\left(ch>cgv\right)\)

\(\Rightarrow AB+AC>2AD\left(đpcm\right)\)

d

Kẻ \(HN//AC;HM//AB\)

Theo tính chất cặp đoạn chắn,ta có:\(HM=AN\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

\(HA< AM+HM=AM+AN\left(1\right)\)

Do \(BH\perp AC;HN//AC\Rightarrow NH\perp HN\)

Xét  \(\Delta BHN\) ta có:\(BH< BN\left(2\right)\)

Tương tự trong tam giác CHM có \(CH< CM\left(3\right)\)

Tiừ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow HA+HB+HC< AM+AN+BN+CM=AB+AC\)

Tương tự,ta có:

\(HA+HB+HC< AB+BC\)

\(HA+HB+HC< BC+AC\)

\(\Rightarrow3\left(HA+HB+HC\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\)

\(\Rightarrow HA+HB+HC< \frac{2}{3}\left(AB+BC+CA\right)\)

Bài 10:

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔCBD vuông tại D có 

\(\widehat{DBC}\) chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔCBD(g-g)

b) Xét ΔHDA vuông tại D và ΔHEC vuông tại E có 

\(\widehat{AHD}=\widehat{CHE}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHDA\(\sim\)ΔHEC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HD}{HE}=\dfrac{HA}{HC}\)

hay \(HD\cdot HC=HE\cdot HA\)

Bài 11: 

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF(g-g)

b) Xét ΔFHB vuông tại F và ΔEHC vuông tại E có 

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)

hay \(HE\cdot HB=HF\cdot HC\)

c) Ta có: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHE có

  BH=HE

  AH chung

  góc AHE= góc AHB= 90 độ ( AH vuông góc với BC)

  => tam giác AHB= tam giác AHE (c.g.c)

  =>HE=HB

b) Xét tam giác AHB và tam giác DHE có

   góc DHE = góc AHB ( đối  đỉnh)

   HE=HB (cmt)

   AH=HD

 => tam giác AHB=tam giác DHE (c.g.c)

 => DE= AB ( 2 cạnh tương ứng)

=> tam giác DHE= tam giác AHE =tam giác AHB

=> AE=DE(2 cạnh tương ứng)

c) Xét tam giác AHC và tam giác DHC có

  HC chung

  góc AHE=góc DHE=90 độ

  AH=HD

 => tam giác AHC= tam giác DHC( cạnh huyền-góc nhọn)

=>AC=DC (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACE và tam giác DCE có

  AE= DE (cmt)

  AC= DC(cmt)

  CE chung

 => tam giác ACE= tam giác DCE(c.c.c)

 => góc EAC= góc EDC (2 góc tương ứng)

d)Ta có: C,E,B thẳng hàng

=> góc CEA+ góc AEB= 180 độ

Mà góc CEN và góc AEB là 2 góc đối đỉnh

=>góc AEC+ góc CEN= 180 độ

 => A,E,N thẳng hàng

Xét ΔHDB VÀ ΔHEA, có:

\(\widehat{BHD}\) = \(\widehat{EHA}\)( đối đỉnh)

\(\widehat{BDH}\) = \(\widehat{HEA}\) = 90°( giả thiết )

Do đó ΔHDB ∞ ΔHEA

➜ \(\dfrac {HD}{HE}\) = \(\dfrac{HB}{HA}\) ➜ HA . HD = HB . HE

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\)

\(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta ACF\left(gn\right)\)

b) Vì \(\Delta ABE\sim\Delta ACF\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\left(1\right)\)

Theo bài ra, ta có: AB // d

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BED}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{ACF}=\widehat{BED}\)

Xét \(\Delta HED\) và \(\Delta HEC\) có:

\(\widehat{BED}=\widehat{ACF}\)

\(\widehat{EHC}\) chung

\(\Rightarrow\Delta HED\sim\Delta HEC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HC}{HE}\)

\(\Leftrightarrow HE^2=HD.HC\)